여성 수학교사였던 박진영이 미국 유학을 가서 이산 수학분야의 난제인 ‘칸 칼라이 추측’을 공동으로 증명했다. 한국에서 수학교사로 7년간 근무한 후 뒤늦게 미국 유학을 가서 박사학위를 취득했다. 현재 스탠퍼드 대학교 수학과에서 연구교수로 있다.
1. 당찬 한국인 여성 박진영 수학자와 지도교수 제프 칸
박진영님은 2004년 서울대 사범대 수학교육과를 졸업했다. 서울 용강중학교와 세종과학고등학교에서 수학교사로 7년을 근무한 후에 미국 럿거스대로 건너가서 2020년 박사학위를 받았다.
외국에서 늦깍이 공부는 쉽지 않았다. 자신이 너무 느린 것 같아 고민을 털어놓자 지도교수 제프 칸은 “빠른 것도 중요하지만 깊게 보는 게 더 중요하다.”고 말해줬다.
이후 프린스턴 고등연구소를 거쳐서 현재 스탠퍼드대에서 활동하고 있다. 국내 교사로 출발해서 미국의 수학 연구자이자 스탠퍼드대학교 연구조교수로 자신의 지평을 넓혀간 경우이다. 게다가 이산 수학의 난제까지 증명했다.
이 증명은 동료 천재 수학자 베트남계 후이 투안 팜(Huy Tuan Pham)과 공동으로 진행되었다. 논문은 미국 과학기술 전문매체 ‘콴탐매거진’에 기재되었다. 그리고 수학계 최고 저널 ‘수학 연보’에도 실렸다.
겉만 보고 미미하고 보잘것 없다고 시작도 안 하는 경우들이 있다. 지금 유학을 갈 수 없으면 중학교 교사 등 어떤 자리가 나도 일하고 볼일이다. 핀란드의 현 총리도 슈퍼의 점원으로 일했다. 현재 할 수 있는 일을 하며 앞으로를 도모하는 게 낫다.
공학기술과 공학적 응용의 핵심은 수학이고 그중 확률 통계를 다루는 이산 수학의 공헌이 각별하다. 이 분야에 한국인 박진영 수학자가 한몫 단단히 하고 있어서 매우 자랑스럽다.
수학을 좋아할 수 있는 학습환경이 조성되면 더할 나위 없이 이상적이다. 최민식 주연의 영화 “이상한 나라의 수학자’가 곧 개봉된다. 곽현아가 쓴 ‘수학의 여신’이라는 책도 있다.
웹툰에 하비영 작가의 ‘수학 잘하는 법’이 있다. 수학잘하는 법은 ‘좋아해서 계속 생각하는 것’이다. ‘웹툰형 수학문제 알고리즘’도 있다. 웹툰 ‘쓰레기 머학생’도 있다. 수학, 과학이 국력이다.
2. 이산 수학 난제 ‘칸 칼라이 추측’ 의 의의
칼 칼라이 추측은2006년 ‘제프 칸’과 ‘질 칼라이’ 두 수학자가 제기한 문제이다. 두 사람의 성을 따서 ‘칸 칼라이 추측’으로 명명되었다. 제프 칸은 박진영 교수의 박사과정 지도 교수였다.
칸 칼라이는 물이 얼음으로 변화듯, 어떤 물질이 급격한 변화를 이루는 순간을 계산할 방법이 있다고 보았다. 칸 칼라이 추측은 이렇게 시스템의 특성이 갑자기 변하는 임계값을 찾는 것과 연관이 있다.
수학계에서는 이 난제는 매우 중요하게 보고 증명을 기대해왔다. 왜냐하면 입증만 되면 온도, 밀도 등 서로 다른 속성의 문턱값을 하나의 명제로 규할 수 있기 때문이다.
샤샤 로벳 샌디에고 캘리포니아 교수는 다양한 속성에 대한 임계값을 계산하려는 조합론의 엄청난 노력을 즉시 줄일 수 있다고 격찬했다.
상 전이(Phase transition)는 통계역학적 계의 매개변수를 바꾸는 과정에서 물리적 성질 가운데 일부가 급격하게 변하는 현상이다. 물질이 하나의 상에서 다른 상으로 변하는 현상을 의미한다. 얼음, 물, 수증기가 대표적 예이다.
모든 물질은 상전이를 하게 되는데 상전이의 조건은 순수 물질은 온도, 압력에 영향을 받으며 혼합물의 경우는 물질의 조성에 따라 달라질 수 있다. 인류가 사용해온 에너지 변화에도 상전이가 일어난다고 할 수 있다.
조합론은 경우의 수를 따지는 수학의 한 분야로 다양한 주제를 다룬다. 확률 통계에서 다루는 순열, 조합, 경우의 수, 최적화, 극대화, 극소화 등이 해당된다. 유한하거나 가산적인 이산 구조에 대해 연구하는 분야이다.
이산 수학(Discrete math)은 연속적이지 않고 드문드문 떨어져 있는 이산적인 수학적 구조(점, 숫자)에 대한 수학이다. 어떤 복잡한 문제를 추상화하고 모델링하여 문제를 해결할 수 있다. 공학기술과 공학적 응용의 핵심은 수학이다.
‘칸 칼라이 추측’으로 참이 증명되면 이산 수학 분야 뿐이라 여러 분야의 다양한 문제를 해결할 단초를 제공하기 때문에 큰 기대를 모아 왔다.
3. 칸 칼라이 추측 증명 과정
칸 칼라이 추측은 점들을 무작위로 선으로 연결해 도형을 만드는 문제가 예이다. 두 점을 지정하고 선으로 연결할지 말지를 특정 확률로 정한 다음 모든 두 점 사이를 확률에 따라 그으면 무작위 그래프가 생긴다.
이 상태에서 확률을 높이다 보면 갑자기 삼각형이 그려진다. 그리고 한붓그리기가 가능한 구조인 특이한 형태의 ‘해밀턴 경로’가 나타날 확률이 높아진다. 해밀턴 경로는 영국 수학자 해밀턴이 발견했다.
이처럼 특수한 형태가 나타나는 시점이 발생하는데 이를 ‘기대 임계값’이라고 한다. 근사치는 예상할 수 있지만 정확한 실제 값을 찾기가 어려웠다. 기대 임계값과 정확한 실제 값, 이 두 가지가 거의 차이 나지 않는다는 것이 ‘칸 칼라이의 추측’이다.
칸 교수와 칼라이 교수는 특이한 형태가 나타나는 확률값인 ‘기대 임계 값’을 근사치만 구하도 실제값과 크게 차이 나지 않는 것으로 추측했다. 추측이 참이면 임계값을 근사치만 구하는 것만으로도 여러 문제가 해결 가능하다.
예를 들면 물이 얼음으로 변하는 순간 등 다양한 시스템과 문제에서 발생하는 ‘상 전이相轉移’의 정확한 지점을 추측할 수 있게 된다.
박진영 교수는 2년 전에는 칸 교수와 해당 문제를 약한 수준에서 증명했다. 약한 수준의 증명이란 추측의 일부만을 증명하는 것을 말한다. 당시 칸 교수와 함께 증명해낸 연구결과는 수학계 최고 저널 중 하나인 ‘수학 연보’에 게재되었다.
이번에 박교수는 칸 칼라이 추측을 증명하기 위해 ‘덮개’를 사용할 수 있도록 변경해서 증명을 완전히 완성했다. 덮개는 합집합이 전체집합인 부분집합의 모음이다. 해밀턴 경로를 예로 들면 모든 모서리에 대한 집합이 덮개가 될 수 있다.
박교수는 어떤 확률을 부여했을 때 목표한 구조를 절대 만들지 못하는 무작위 구조를 모두 포함하는 작은 덮개가 있다고 감지하고 이 덮개를 증명해내는 방식을 활용했다. 수학자들의 눈에는 이 방식이 매우 우아하고 아름답게 보인다.
이달 25일 ‘콴탐메거진’에 의하면 박진영교수와 ‘후이 투안 팜’ 박사과정생, 두 수학자는 지난달 3월 하룻밤 만에 증명방법을 생각해 냈다. 이후 일주일 만에 6쪽 분량에 해당하는 논문을 완성해 게재했다.
이 논문은 지난 3월달에 논문 사전 공개 사이트인 ‘아카이브’에 공개되었다. 칸 교수는 이는 수학에서 일어나는 좋은 일이고 사람들이 희망이 없다고 생각했던 수학난제에 희망이 있을 뿐 아니라 증명이 힘들지도 않은 것으로 밝혀졌다며 환영했다.
박진영이 칼 칼라이 추측을 증명했다. 칼 칼라이 추측은 2006년 ‘제프 칸’과 ‘질 칼라이’ 두 수학자가 제기한 문제이다. 두 사람의 성을 따서 ‘칸 칼라이 추측’으로 명명되었다. 제프 칸은 박진영 교수의 박사과정 지도 교수였다. 박진영은 수학교사로 근무하다가 뒤늦게 미국에 유학가서 박사학위 받고 미국에서 일하고 있다.
